Legenda kaže da otkako je napustio rodnu Mađarsku 1934. nije spavao u istom krevetu duže od sedam dana, a da je svetom putovao sa dva kofera. U stvarnosti, imao je samo jedan koji je jedva dopola bio napunjen skromnom odećom, dok se u drugoj polovini kofera nalazio starinski radio-aparat kojeg je nosio sa sobom da ne bi propustio vest da je komunizam propao. Oženjene muškarce nazivao je „robovima“, njihove supruge „šeficama“, a decu „epsilonima“ (grčko slovo epsilon u matematici označava neku malu vrednost). Zamislite da vam se na telefon javi nepoznata osoba i kaže: „Dobar dan, šefice, mogu li da pričam s vašim robom? A vaši epsiloni, kako su?“ To je mogao da bude jedino Pal Erdoš, čudak i matematički genije.
Pal Erdoš je objavio preko 1.500 matematičkih radova, neuporedivo više nego bilo koji njegov savremenik. Po širini opusa jedino se Leonard Ojler, sa svojih 800 radova sabranih u 19 tomova, može porediti s njim. Objavio je bar jedan zajednički rad sa preko 500 ljudi. Da je malo više putovao vozom, verovatno bi jedan rad objavio i sa kondukterom. Nije imao prebivalište, nije imao radno mesto – živeo je svuda i nigde. Za materijalne stvari nije mario, nije imao imovinu, ušteđevinu, ženu, decu. Nije imao ništa osim matematike i zato je imao sve. Bavio se matematikom jer je verovao da svaki matematički dokaz ima neprolaznu vrednost, koja sa sobom nosi i delić besmrtnosti.
Rani jadi
Rođen je 26. marta 1913. godine u Budimpešti, u tadašnjoj Austrougarskoj imperiji, u učenoj jevrejskoj porodici. Majka Ana i otac Lajoš bili su srednjoškolski profesori matematike. Erdoševo rođenje obeleženo je velikom porodičnom tragedijom: dok je majka bila u porodilištu, njegove sestre od 3 i 5 godina umrle su od šarlaha u istom danu. Ta tragedija obeležila je Erdoševo detinjstvo: majka ga je vrlo retko puštala iz kuće u strahu da ne zakači bolest od svojih vršnjaka.
Kada je imao tek godinu i po dana, njegov otac bio je zarobljen u ruskoj ofanzivi i odveden u sibirski logor. Brigu o njegovom vaspitanju preuzela je nemačka guvernanta, dok je majka najčešće bila van kuće u potrazi za dodatnim poslom. Erdoš je zavoleo matematiku brzo i lako – nekog drugog štiva u kući ionako nije bilo. Iz matematičkih knjiga naučio je da čita, odmah zatim i da računa. U četvrtoj godini istrčao je pred majku koja se posle nastave u školi i privatnih časova vraćala kući u pozne sate i rekao joj da je sam naučio negativne brojeve.
Kroz Mađarsku je 1919. godine protutnjala boljševička revolucija Bele Kuna koja je ugušena posle samo 133 dana, velikim delom i zbog nedostatka podrške u narodu. Naredne godine na vlast je došao Mikloš Horti, tvrdi desničar i populista koji je odmah zauzeo neprijateljski stav prema Jevrejima.
 |
| Budimpešta 1930. |
Mađarska se sigurno ne može nazvati kolevkom fašizma, ali joj ne služi na čast što je bila prva zemlja između dva rata koja je već 1920. donela „Numerus clausus“, propis po kome procenat studenata upisanih na visokim školskim ustanovama mora da odgovara prirodnoj zastupljenosti etničkih grupa u opštoj populaciji. Iako propis nije eksplicitno pominjao Jevreje, bilo je jasno na koga se odnosi: u to vreme u Mađarskoj je živelo 6% Jevreja, dok je njihovo učešće u studentskoj populaciji prelazilo 15%, u nekim školama i 30%.
Zakon je donekle ublažen 1928. godine pod pritiskom Lige nacija, ali je 1938. vraćen u još ekstremnijoj formi, po ugledu na Hitlerovu Nemačku. Mađarska poruka Jevrejima bila je jasna: „Mi vas ne volimo, mi vas ne želimo, vaše znanje nam nije potrebno.“
Sa dolaskom Mikloša Hortija na vlast nastala su teška, rizična vremena za mađarske Jevreje: Erdoš je kroz prozor stana mogao da gleda kako rulja prebija njegove sunarodnike koji su se slučajno zatekli na ulici.
 |
| Pal Erdoš, dečak |
Majka mu je u jednom trenutku predložila da ga krste u katoličkoj crkvi. To bi Pala zaštitilo od represije, mogao bi da ostavi svoje jevrejsko poreklo po strani, a ne da ga vuče kroz život kao đule vezano za nogu. Iako je tada imao samo sedam godina, Erdoš se usprotivio: „Ja sam Jevrej i želim to i da ostanem. Svako treba da bude ono što jeste.“
Otac se vratio iz Sibira iste, 1920. godine, živ i zdrav. Igrom slučaja, tamo je došao do nekih udžbenika za engleski jezik i u logoru je naučio engleski a da nikad nije čuo živi govor. To svoje znanje preneo je na sina, sa strašnim mađarskim akcentom koji je Erdoš dodatno izoštrio i dosledno ga se držao čitavog života.
Sa povratkom oca i Erdoševe matematičke veštine počele su brže da napreduju. O svemu ostalom brinula je majka, do najmanje sitnice. Nije se igrao s drugom decom, nije išao u pravu školu sve do desete godine. I kad je krenuo, majka ga je povlačila iz škole svake druge godine jer je i dalje bila opsednuta strahom od potencijalne zaraze.
Tako je Erdoš izrastao u matematičkog genijalca, ali je ostao „amater“ u svemu ostalom: naučio je da vezuje pertle na cipelama u dvanaestoj godini, a prvi put se osmelio da „spremi“ sebi doručak (parče hleba namazano maslacem) tek u sedamnaestoj, kada je 1930. krenuo na budimpeštanski univerzitet, koji je upisao uprkos ograničenjima za Jevreje.
Matematički nomad
Pal Erdoš je doktorirao 1934. godine. Osećajući da mu domovina izmiče tlo ispod nogu prihvatio je stipendiju za postdoktorske studije u Mančesteru 1936. godine. Pridružio se armiji mađarskih genijalaca koji su napustili svoju zemlju u međuratnom periodu.
Među njima su bili Džon (Janoš) fon Nojman, svestran čovek koji je pozlatio sve čega se dotakao (kvantna mehanika, teorija igara, matematička analiza, arhitektura računara, jedan od ključnih ljudi u projektu „Menhetn“), Leo Silard (prvi osmislio koncept lančane nuklearne reakcije, jedan od onih koji su uverili Ajnštajna da napiše pismo Ruzveltu i upozori ga na opasnost od nemačke atomske bombe, kasnije veliki antinuklearni aktivist), Judžin (Jeno) Vigner (kasnije dobitnik Nobelove nagrade za primenu teorije grupa u kvantnoj mehanici, jedan od konstruktora prvog nuklearnog reaktora u projektu „Menhetn“), Edvard (Ede) Teler (otac hidrogenske bombe)...
 |
| Marsovci iz Budimpešte: Džon fon Nojman, Pol Erdoš, Judžin Vigner, Edvard Teler, Leo Silard, Teodor fon Karman, Pol Halmoš, Džordž Polja i Džon G. Kemeni |
Zvali su ih i „Marsovcima“ jer je mnogima bilo teško da poveruju da je jedna mala zemlja poput Mađarske mogla u tako kratkom roku da iznedri toliko velikih umova.
Svi su se oni, posle kraćeg ili dužeg lutanja, skrasili u Americi i tamo započeli novi život. Jedino je Erdoš postao skitnica, bez stalnog mesta boravka. Već tokom školovanja u Mančesteru bilo ga je nemoguće locirati, putovao je od jednog mesta do drugog tražeći inspiraciju ili kolege sa kojima je mogao da radi na za njega interesantnim problemima.
Sve do 1938. godine povremeno je obilazio majku u Budimpešti, ali ga je Hitlerov anšlus Austrije uverio da je samo pitanje vremena kada će i Mađarska doći na red. Erdoš je doneo odluku da se preseli u Ameriku.
Jedno kratko vreme radio je na Institutu za napredne studije u Prinstonu, ali je saradnja raskinuta posle šest meseci jer je Erdoš ocenjen kao „neuredan čudak“ i „osobenjak među osobenjacima“.
Rastanak mu nije teško pao i Erdoš je postao „matematički nomad“. Počeo je da putuje od jedne matematičke konferencije do druge, tu i tamo bi na nekom univerzitetu održao predavanje ili dva i za to dobio neki skroman novac. Mnogo više para zaradio je rešavajući probleme velikim telekomunikacionim firmama (rutiranje poziva, balansiranje opterećenja, optimizacija troškova) – tu bi za dan često zaradio i do 25.000 dolara.
 |
| Pal Erdoš, tridesetih |
Nekad bi odbijao mnogo veće iznose jer mu je od novca bilo mnogo važnije da problem bude matematički zanimljiv. Od zarade bi zadržao samo neku malu svotu, da pregura nekoliko narednih nedelja ili da otputuje do naredne destinacije. Ostatak bi delio ljudima kojima je novac bio potrebniji, najčešće ustanovama koje brinu o bolesnoj ili ugroženoj deci. Često bi prosjaku davao četvrt dolara, ali kad je imao više, umeo je da u šešir stavi i svih pedeset.
Život u jednom koferu
Objavljivao je sve više i više naučnih radova, ređe sam, češće sa koautorima, a količina i kvalitet tih radova brzo su primećeni. Erdoš je, takoreći preko noći, postao vrhunski matematičar na koga su kolege gledale sa sve većim respektom.
U Americi je postao poznat kao „Pol Erdoš“, njegov engleski jezik se popravio ali neznatno: bio je često nerazumljiv do te mere da su ga, tokom njegovih gostovanja na američkim TV stanicama, titlovali kako bi gledaoci mogli da ga razumeju.
Uz to, njegov rečnik bio je neobičan: kada biste mu prišli i pružili ruku, pozdrav bi ostao neuzvraćen jer se Erdoš nikad nije rukovao. Posle pola sata pitao bi vas: „A kad ste došli?“, što je zapravo značilo: „Koje godine ste se rodili?“.
Oženjene muškarce nazivao je „robovima“ ili „zarobljenicima“, njihove supruge bile su „šefice“, onaj ko bi se razveo bio je „oslobođen“, a matematičar koji drži predavanje bio je „propovednik“. Muzika je bila „buka“, a alkohol „otrov“. Kada bi neko prestao da se bavi matematikom, Erdoš bi rekao da je „umro“. Kada bi zaista umro, Erdoš bi rekao da je „otišao“.
Decu je nazivao „epsilonima“ (grčko slovo epsilon u matematici označava neku malu vrednost). Zamislite da vam se na telefon javi nepoznata osoba i kaže: „Dobar dan, šefice, mogu li da pričam s vašim robom? A vaši epsiloni, kako su?“ To je mogao da bude jedino Pal Erdoš.
 |
| Najpoznatija fotografija Pala Erdoša |
Legenda kaže da je putovao po svetu sa dva kofera. U stvarnosti, imao je samo jedan koji je jedva do pola bio napunjen najskromnijim odevnim predmetima. U drugoj polovini kofera nalazio se ogroman, starinski radio-aparat. Erdoš ga je nosio sa sobom sa jednom željom: da ne propusti vest o tome da je komunizam propao. U drugoj ruci nosio je veliku plastičnu kesu koju je vukao sa sobom još iz Budimpešte, uglavnom napunjenu matematičkim papirima.
Kratko se zadržavao na brojnim univerzitetima: Notr Dejm, Stenford, Sirakuza, Pensilvanija..., ali se nigde nije skrasio. Nije voleo profesuru i takav angažman nije mogao dugo da izdrži. U pauzama između konferencija počeo je privatno da posećuje kolege s kojima je sarađivao ili je nameravao da to učini. Te iznenadne, nenajavljene posete postaće njegov zaštitni znak.
Mađarski Holokaust
Vreme Drugog svetskog rata bilo je izuzetno teško za Erdoša: njegovi roditelji i rođaci ostali su u Mađarskoj koja je, čak i sa svojim rasnim zakonima, bila relativno sigurno mesto za oko 825.000 Jevreja sve do 1944. godine. A onda je počinjen možda i najveći pojedinačni zločin u Drugom svetskom ratu: Nemci su posumnjali da Mađari pokušavaju da sklope tajni mirovni sporazum sa Saveznicima (što je bilo tačno), te su zato rešili da preuzmu direktnu kontrolu nad zemljom.
U martu 1944. godine nemački tenkovi ušli su u Budimpeštu, vlada Mikloša Hortija bila je svrgnuta, a u novu marionetsku vladu seli su antijevrejski ekstremisti. Stvarni vladar bio je zloglasni Adolf Ajhman koji je u periodu od maja do jula sistematski deportovao oko pola miliona mađarskih Jevreja u Aušvic, gde je većina njih već prvog dana bila ubijena u gasnim komorama.
Erdoševi roditelji završili su u budimpeštanskom getu. Otac je umro od bolesti i gladi, ali je majka preživela. Njegovi rođaci većinom nisu – skoro svi su postali Ajhmanove žrtve.
 |
| Deportacija budimpeštanskih Jevreja u geto |
Kada se posleratna prašina malo slegla, Erdoš je odjednom postao „bezbednosni problem“. U sveopštoj antikomunističkoj histeriji tadašnje Amerike, Erdoš je svrstan u grupu potencijalnih sovjetskih špijuna. Nije proteran jer nikakvih dokaza protiv njega nije bilo, ali mu je rečeno da, ukoliko napusti teritoriju SAD-a, više neće moći da se vrati. U Mađarsku nije mogao da ode jer su ga tamo smatrali američkim špijunom.
Erdoš za američke pretnje nije mnogo mario – otputovao je na jednu veliku konferenciju u Amsterdam iako je bio svestan da će za to snositi posledice. I zaista, Amerikanci mu nisu dozvoljavali da se vrati u zemlju sve do 1963. godine.
Tokom boravka u Evropi najveću pomoć pružio mu je Izrael – tamo su ga finansijski podržali, a obezbedili su mu i katedru na jednom izraelskom univerzitetu gde je uvek mogao da se vrati ako opet zapadne u neprilike.
Mađarska je, u međuvremenu, malo popustila u svom tvrdom stavu i Erdoš je 1956. konačno dobio priliku da otputuje u Budimpeštu i ponovo vidi majku, i povede je sa sobom.
Kada mu je Amerika konačno odobrila ulaznu vizu, Erdoš je ponovo počeo da posećuje tamošnje univerzitete i naučne skupove. U tom trenutku njegov pasoš već je imao pečate 26 država. Narednih pet-šest godina majku je vodio svuda sa sobom: na fakultetska predavanja, na konferencije, u goste kod svojih kolega kod kojih bi jednostavno banuo da bi sa njima radio matematiku...
 |
| Pal Erdoš sa majkom Anom u Melburnu 1969. |
Njegova majka, već u poznim godinama, nije razumela ni reč engleskog, niti je mogla da prati matematičke diskusije koje su bile iznad njenih znanja i mogućnosti, ali joj to nije smetalo: konačno je bila sa svojim sinom, srećna i spokojna. Gde god su se zatekli u svom skitalačkom životu, delili su istu sobu, krevet do kreveta, držeći se za ruke sve dok ne bi pali u san.
Majčinu smrt u Kalgariju 1971. godine Erdoš je jedva preboleo: u to vreme počeo je da uzima amfetamine i ta navika pratila ga je do smrti. Utehu je pronašao u matematici, tablete su mu omogućavale da radi takoreći neprekidno, često i po 20 sati na dan.
„Gost iz pakla“
Bez imovine, bez adrese, bez stalnog zaposlenja, a sada i bez porodice, Erdoš se potpuno okrenuo lutanju bez nekog velikog plana. Od 1973. godine najviše vremena provodio je u Americi. Nije ostalo zabeleženo da je iko odbio da mu ukaže gostoprimstvo, mada se tako nešto verovatno dešavalo u njegovim mančesterskim danima kada je bio mnogo manje poznat.
Zapravo, najveći broj matematičara jedva je čekao da im se na vratima pojavi ovaj nezvani gost koji bi umesto predstavljanja i pozdrava rekao samo: „My mind is open“ („Moj um je otvoren“). A to je otprilike značilo: „Očekujem neki težak matematički problem, nemoj da me razočaraš.“
Svi njegovi domaćini znali su da će im neočekivana poseta omogućiti „kvantni skok“ u naučnoj karijeri, jer Erdoš je bio čovek koji rešava matematičke probleme, i svoje i tuđe, a najčešće zajedničke. Nepogrešivo je umeo da prepozna matematički nivo svog sagovornika i da mu zada problem koji će biti rešiv, a opet dovoljno težak da iz njega obojica mogu da nauče nešto novo.
Bilo je matematičara koji su iz temelja promenili metod, pa čak i oblast svog istraživanja jer im je Erdoš otvorio oči i otkrio neke nove predele koji su nudili obilje naučnog materijala, ponekad i za nekoliko narednih decenija.
 |
| Čarls Mur, Fani Barnet, Isak Barnet i Pol Erdoš na Međunarodnom kongresu matematičara u Edinburgu 1958. |
Imalo je to svoju „cenu“ jer je Erdoš bio, kako neko lepo reče, „gost iz pakla“. Bio je potpuno nesamostalan i pasivan, neko je morao da mu servira sva tri obroka i da skoro svaki dan pere njegovu preskromnu „garderobu“, koju je prljao brzinom nespretnog deteta koje je sve vreme provodilo na ulici.
Često bi razgovor s ukućanima prekidao zato što mu je iznenada palo na pamet genijalno rešenje problema na kome je radio sa nekim dalekim kolegom. U takvim situacijama morao je hitno da telefonira, da ideja ne ispari, da je proveri što pre, pa ostajao bi na vezi po čitav sat i pravio astronomske telefonske račune koje bi, bez zle namere, ostavljao svojim domaćinima za uspomenu.
Ponekad bi mu domaćini na istočnoj obali rekli da je suviše rano da zove kolegu iz Kalifornije jer je tamo tek 5 sati ujutru, čovek sigurno spava. Erdoš bi samo odmahnuo rukom: „Još bolje, to znači da je sigurno kod kuće!“
I kad bi jednog dana, posle par nedelja boravka, konstatovao da su sve matematičke teme od zajedničkog interesa temeljno pretresene, Erdoš bi jednostavno rekao da mora da ide. Onako ubog nije mogao da ode nigde, tako da je kartu do narednog boravišta, do narednog kolege i sledeće matematičke avanture morao da plati njegov trenutni domaćin.
Anđeoska strana
Da li su kolege Erdoša primale u goste samo zbog ličnog interesa, zbog želje da iz jednog genijalnog uma izvuku neku vajdu za svoju karijeru? Možda je bilo i takvih. Ali oni kod kojih je najčešće boravio, ističu da je „gost iz pakla“ imao i svoju anđeosku stranu.
 |
| Pol Erdoš i desetogodišnji Terens Tao, danas jedan od najvećih živih matematičara, 1985. razgovaraju o matematici |
Erdoš se nikad nije odmarao od matematike jer nije postojalo ništa drugo u čemu bi uživao. Ali bi povremeno voleo da ode u šetnju, obično do lokalne osnovne škole, pa čak i vrtića, i tu bi držao nadahnute govore o lepotama matematike, tražeći iskru u dečijim očima, znak talenta koji čeka da bude otkriven.
Voleo je „epsilone“ i umeo je vrlo brzo da prepozna nivo matematičkog talenta u njima. Ako ga je bilo, davao bi najbolje savete: u koju školu dete treba da ide, kom profesoru roditelji treba da se jave, koje knjige i kojim redosledom dete treba da pročita. Naročito je bio pažljiv prema devojčicama, mnoge od njih opredelile su se za matematiku samo zato jer su imale sreću da im Erdoš svrati u iznenadnu posetu.
Kao gost, bio je zahvalan za svaku sitnicu, i nikad nije imao primedbu na svoj smeštaj ili hranu. Kad god bi mu ljubazni domaćini platili kartu do narednog mesta, on bi to upisivao u svoju sveščicu uz obećanje da će vratiti novac „vrlo brzo“, i u većini slučajeva to obećanje je održao.
U kasnijim godinama dobio je preko 30 počasnih doktorata raznih univerziteta, ali je neke vratio jer je saznao da se institucija koja ga je nagradila nekorektno ponela prema osobi koja je imala drugačije mišljenje, ili je pripadala nekoj manjinskoj grupaciji.
Grejemov broj
Erdoš je imao mnogo saradnika, ali teško da je iko od njih bio njegov bliski prijatelj. Prijateljstvo podrazumeva makar površni uvid u nečiju intimu, a to je bilo ono što Erdoš nikad nije imao. Ipak, jedan čuveni američki matematičar bio je bliži Erdošu od svih ostalih: reč je o Ronaldu Grejemu, o kome bi se mogao napisati jednako interesantan tekst.
Iako nikad nije završio srednju školu, bio je svestrano talentovano dete pa mu je Univerzitet u Čikagu dodelio pristojnu stipendiju. Sport ga je, ipak, zanimao mnogo više od učenja: bio je izvrstan gimnastičar, šampion u akrobacijama na trambulini, vozio je monocikl, vežbao žongliranje, u čemu se strasno takmičio, često pobeđivao i na koledžu i na državnom nivou.
 |
| Ron Grejem |
Fakultet je upisao i završio na Aljasci, izgledalo je da će se okrenuti fizici, ali je otišao na Berkli, gde je doktorirao na tezi iz teorije brojeva i shvatio da mu je matematika, zapravo, najveća strast.
Iako je najveći deo radnog veka proveo u laboratorijama AT&T-ja u Nju Džersiju, gde je stigao do titule „glavnog naučnika“, Grejem je upamćen pre svega zahvaljujući svojim raznovrsnim matematičkim radovima. Objavio ih je preko 400, od toga stotinu zajedno sa svojom četvrtom suprugom Fen Čung, koja je takođe bila matematičar. Uz to, Amerika ima dve velike nacionalne asocijacije matematičara i jedino je Grejemu pošlo za rukom da bude predsednik obe.
Ipak, najpoznatiji je po broju koji nosi njegovo ime: „Grejemov broj“ je dugo vremena važio za najveći broj koji se ikad pojavio u nekom naučnom radu. Do njega je Grejem došao rešavajući jedan problem iz teorije grafova koji se odnosi na minimalan broj prostornih dimenzija potrebnih da se ivice „hiperkocke“ (tela nalik na kocku, samo u više dimenzija) oboje na određeni način: u to vreme znalo se da taj broj nije manji od šest, danas znamo da je taj broj najverovatnije 13, dok je gornju granicu prvi izračunao Grejem.
Taj broj je tako sumanuto veliki da ga ne možete zapisati ni na jedan način koji ste učili u školi. Štaviše, kada biste čitav kosmos izdelili na „Plankove kockice“, najmanje deliće prostora sa kojima nauka može da manipuliše, i kad biste u svaku tu bizarno malu kockicu upisali po jednu cifru Grejemovog broja, svemir ne bi bio dovoljno veliki da u njega stane čitav broj.
 |
| „Grejemov broj“ Grejemovom rukom napisan |
Prijatelji do groba
Grejem je sa Erdošem napisao preko 30 zajedničkih radova. Upoznali su se slučajno, na nekom naučnom skupu u Koloradu 1963. godine. U predahu između dva predavanja, naizgled „smotani“ Erdoš glatko je pobedio atletski građenog Grejema u ping-pongu. Grejem je bio toliko van sebe da je po povratku u Nju Džersi počeo da trenira stoni tenis tako fanatično da je u roku od godinu dana postao šampion AT&T-a, a zatim i čitave države.
Vremenom su Grejem i Erdoš izgradili čvrstu vezu koja je trajala sve do Erdoševe smrti.
Erdoš je kod Grejema bio redovni gost, jedino bi kod njega ostajao i puna dva meseca, često i nekoliko puta godišnje, možda i zato što je tu, umesto s jednim, mogao da diskutuje sa dva matematičara istovremeno. Za svo to vreme, bukvalno je „satirao“ Grejema (a ponekad i njegovu suprugu) tempom rada koji je počinjao u cik zore.
Kada bi Grejem pokušao da se „izvuče“ konstatacijom da im je obojici potreban odmor, Erdoš bi rekao: „Odmaraćemo se kad budemo bili u grobu.“ Grejema bi pustio da ode na spavanje tek u kasnim večernjim satima, kada bi Ronald praktično prestao da daje znake života.
 |
| Ronald Grejem i Pal Erdoš |
Bila je to nadrealna scena: dva čoveka, jedan u baštenskoj stolici u izgužvanom odelu, zagledan u papire prostrte u krilu, i drugi, odeven kao cirkuski akrobata, strasno razgovaraju o nekom teškom matematičkom problemu.
Matematički snovi
Predah od matematike uvek je bio kratkotrajan. Jer Erdoš bi se bavio matematikom i u snu. Dešavalo se da mu fantastična ideja sine u glavi u tri noću, zbog čega bi ga obuzelo takvo oduševljenje da je sa nekim morao momentalno da ga podeli. Ali kako, u gluvo doba, kad domaćini spavaju?
Ako ne može s njima, može da se proveseli sam! Erdoš bi tad uzeo lonac, tiganj, pleh, kutlaču, šta god mu padne pod ruku i krenuo da paradira kroz kuću lupajući iz sve snage o posuđe kao da je počeo novi svetski rat.
I pored toga, Grejemovi su ga voleli i tolerisali, nikad im nije postao dosadan, čak su sagradili i dodatnu spavaću sobu samo za njega. Izbegavali su da ga ostavljaju samog jer je Erdoš bio u stanju da umre od gladi pored špajza punog hrane.
Kada su, jednom prilikom, Grejemovi morali da otputuju na par dana iz grada, Erdošu su ostavili pun frižider svakojakih đakonija računajući da će Erdoš ostati u životu, ako ni zbog čega drugog, a ono zbog prirodnog nagona čoveka da konzumira hranu kad je gladan. Kada su se vratili zatekli su Erdoša potpuno ruiniranog, iscrpljenog, i dalje zagnjurenog u matematičke formule. Otkrili su da je jeo majonez direktno iz tube, da je zagrizao kiflu u celofanu i odustao kada celofan nije popustio, da je pokušao da isprži jaja ali da su skoro sva završila na podu...
„Sastojci su dobri“, rekao je Erdoš, „ali kad se pomešaju... nisam to mogao da jedem“.
 |
| Pal Erdoš, Ronald Grejem i njegova supruga Fan Čung |
Grejem je iskreno brinuo o Erdošu. Jednom ga je čak naterao da ostavi amfetamine koje je gutao kao kokice. Opkladio se sa Erdošem u 500 dolara da neće izdržati ni mesec dana bez „ritalina“ i „benzedrina“. Erdoš je prihvatio izazov, ne kao naš „Pikac“ („Skidam se ja, samo postepeno“) već radikalno, tako što je istog časa prestao da uzima pilule.
Posle mesec dana pokupio je novac od opklade, ali bez ikakvog zadovoljstva. Setno je rekao Grejemu:
„Mislim da sam ti dokazao da nisam zavisnik. Ali za ovo vreme nisam uradio ništa... Ranije sam u praznom listu hartije mogao da vidim ideje, formule, rešenja... sad vidim samo hladnu belinu. Protraćio sam mesec dana života, moja matematika je mesec dana stajala u mestu.“
Vratio se amfetaminima i nikad više nije pokušao da ih ostavi.
Opsednutost Knjigom
Erdoš nije mnogo filozofirao o smislu života, ali je često ponavljao da ga svest o neminovnosti smrti prati od četvrte godine života, iste one godine kada je naučio negativne brojeve.
Njegov odnos prema Bogu bio je i ozbiljan i komičan. Sigurno je da ga nijedna velika svetska religija nije naročito impresionirala, čak ni ona jevrejska. Ogromna stradanja u Drugom svetskom ratu i činjenica da je Bog imao neka druga posla dok je Erdošev narod prolazio kroz Holokaust, sigurno nisu pomogli da se u njemu rasplamsa vera u svemoćnog Boga koji čini dobre stvari. Erdoš je bio nešto između agnostika i ateiste: reklo bi se da je priznavao da Bog postoji, ali time nije bio impresioniran, niti je bio vernik.
Boga bi najčešće označavao inicijalima S.F. („Supreme Fascist“, vrhovni fašista), ne samo zato što mu je skrivao pasoš, novčanik, naočare i čarape, već zato što je bio vlasnik „Knjige“, zbirke najlepših, najelegantnijih i najjednostavnijih dokaza svih važnih matematičkih problema.
Smisao života Pola Erdoša
Bio je ljubomoran na Boga jer tu Knjigu nije delio s ljudima već je sebično uživao u njoj, prepustivši smrtnicima da se muče s brojevima i formulama znajući da je sav taj trud verovatno uzaludan i da Knjiga koju će napisati matematičari nikad neće biti onako dobra, onako velika i kompletna kao što je ona koju Bog ljubomorno čuva.
Opsednutost Knjigom pratila je Erdoša kroz ceo život: kad bi neko od njegovih kolega objavio izuzetan rad, dokaz ili rešenje problema, Erdoš bi jednostavno rekao: „Ovo je iz Knjige.“ Bolju i veću pohvalu nije imao.
Tajne prostih brojeva
Zato je Erdoš bio jako ponosan na svoja dva rana rada. Prvi se odnosio na tzv. „Bertranov postulat“: uzmite bilo koji broj, recimo 10, udvostručite ga i dobićete 20. Postulat kaže da između brojeva 10 i 20 mora da postoji bar jedan prost broj (broj koji je deljiv samo jedinicom i samim sobom). U ovom slučaju postoji ne samo jedan takav broj, već nekoliko njih: 11, 13, 17, 19.
Formalni dokaz Bertranovog postulata dao je ruski matematičar Pafnuti Čebišev polovinom 19. veka, ali taj dokaz, po Erdoševom mišljenju, nije bio iz Knjige jer je bio suviše komplikovan. Mnogo kraći i elegantniji dokaz Erdoš će objaviti 1932. godine.
Drugi rad koji je Erdoš „prepisao“ iz Knjige bavi se prebrojavanjem prostih brojeva. Odgovor na pitanje „koliko ima prostih brojeva manjih od 100, 1.000 ili 1.000.000“ nije lak i do danas nije u potpunosti rešen, ali postoje jednostavne formule koje sa malim procentom greške mogu da daju odgovor na ovo pitanje.
Validnost jedne od njih dokazali su Žak Hadamard i Žan Delaval Puse još 1896. godine. Ali ni taj dokaz ne spada u najelegantnije. Dokaz iz Knjige pružiće Erdoš i Siberg tek 1949. godine, pri čemu je ostala misterija čiji je doprinos tu bio veći (u svađi koju je pokrenuo Siberg, Erdoš nije želeo da učestvuje).
Ono što Erdoš nije voleo bili su računari. Ne zato što nije znao ili nije hteo da ih koristi, niti zato što je osporavao njihovu moć i upotrebnu vrednost, već zato što dokazi koji su kompletirani upotrebom računara nisu bili iz famozne Knjige.
Kada su Kenet Apel i Volfgang Hakel 1976. godine rešili čuveni problem bojenja geografske karte i dokazali da se bilo koja politička karta sveta može obojiti pomoću samo četiri boje, Erdoš nije bio impresioniran. U svom dokazu autori su uspeli da skup svih mogućih karata svedu na 1936 „osnovnih“, a zatim su svaku od njih obojili pomoću kompjutera u četiri boje. Dokaz je bio validan, ali po Erdošu nije bio „lep“, jer on nije mogao da ga isprati od početka do kraja.
Takvi dokazi mogli su da budu prihvaćeni, ali samo dok se ne pronađe onaj najelegantniji i najjednostavniji, onaj koji dolazi direktno iz Knjige.
Remzijeva teorija
Teško je reći gde je Erdošev doprinos matematici bio najveći. On nije publikovao trivijalne radove, dotakao je skoro svaku oblast, ali je teorija brojeva za njega uvek bila najznačajnija. Bavio se i kombinatorikom, teorijom verovatnoće, skupovima, matematičkom analizom... Ako treba da izdvojimo samo jedan segment u kome je briljirao, to je svakako Remzi-teorija. Laički prepričano, ova teorija pokazuje da je potpuni nered nemoguć. U naizgled haotičnim sistemima pojaviće se određene pravilnosti čim sistem postane dovoljno veliki.
Tipično pitanje koje se u Remzi-teoriji postavlja izgleda ovako: „Koliko veliki sistem X treba da bude pa da u njemu uočimo pravilnost Y?“ Jedan banalan ali fascinantan primer: koliko najmanje ljudi treba da pozovete u goste (makar ih slučajno skupljali sa ulice) pa da budete sigurni da će među njima postojati grupa od tri čoveka koji se svi međusobno znaju, ili grupa od tri čoveka u kojoj niko ne poznaje nikog? Odgovor je - 6! Taj broj se naziva Remzijevim brojem i označava kao R(3,3).
Dignite lestvicu samo malo više: koliko ljudi treba pozvati u goste pa da budete sigurni da postoji grupa od 5 ljudi koji se svi međusobno znaju, ili grupa od 5 ljudi u kojoj niko ne poznaje nikog? Drugim rečima, koliko iznosi R(5,5)? Danas znamo da taj broj gostiju nije manji od 43 i nije veći od 46. Postoje samo četiri moguća rešenja, ali koje od njih je tačno – ne možemo trenutno ni da naslutimo.
Erdoš je za ovaj problem imao interesantnu metaforu: „Zamislite da nas posete tehnološki superiorni vanzemaljci i da nam zaprete potpunim uništenjem ako im za godinu dana ne otkrijemo vrednost za R(5,5). Smatram da bi bilo razumno da okupimo najbolje matematičare i objedinimo sve naše kompjuterske kapacitete kako bismo imali rešenje kroz dvanaest meseci. Ali ako bi nam vanzemaljci umesto toga zatražili vrednost za R(6,6), verujem da bismo morali odmah da ih napadnemo.“
Svevideće oko
Prema svom zdravlju odnosio se nehajno. Tokom šezdesetih godina katarakta ga je praktično oslepela. Kolege su ga ubeđivale da se podvrgne operaciji, što je Erdoš neprekidno odbijao zbog „nedostatka vremena“. Ipak, suočen sa mogućnošću da ga slepilo trajno odvoji od matematike, na kraju je pristao da ga operišu na klinici u Memfisu.
„Doktore“, pitao je Erdoš, „hoću li moći da vidim?“
„Naravno“, rekao je doktor, „poenta operacije je baš u tome“.
I onda su Erdoša stavili na bolnički ležaj i krenuli da ga voze u operacionu salu. Za to vreme, Erdoš je držao matematičke papire tik ispred nosa i škiljeći na jedno oko pokušavao nešto da iz njih pročita. Svetla u operacionoj sali počela su da se gase, sestra se spremala da ubrizga lokalnu anesteziju, Erdoš više nije video ni slovo. Kad je shvatio šta se dešava, nastao je haos:
„Doktore, rekli ste mi da ću moći da vidim, zar ne?“
„Da“, kaže doktor, „ali posle operacije. Sad morate da prekinete s čitanjem“.
„Čekajte“, kaže Erdoš, „zar vi ne operišete prvo jedno oko pa drugo? Dok vi operišete ovo prvo, zašto ja ne bih mogao da čitam na ovo drugo? Objasnite mi to!“
Nastaje „pat“ pozicija, Erdoš odbija da se smiri, operacija ne može da počne...
Doktor se na kraju ipak snašao: nazvao je Univerzitet u Memfisu i zatražio da mu hitno pošalju dva matematičara, malo pametnija, da zagovaraju Erdoša dok se operacija ne obavi. Tako je na kraju i bilo.
Autoportret Pola Erdoša
Godine su prolazile i činile svoje, ali Erdoš nije mnogo mario za to. Jedini vidljivi dokaz da ga je starenje ipak mučilo i da prema tome nije bio ravnodušan bili su potpisi ispod radova, koji su tokom vremena bivali sve komplikovaniji.
Kada je napunio 50 godina, na svoje ime dodao je inicijale P.G.O.M („Poor Great Old Man“), u šezdesetoj L.D. („Living Dead“), u 65. godini A.D. („Archeological Discovery“), u sedamdesetoj još jednom L.D. („Legally Dead“) i, na kraju, u 75. godini – C.D. („Counts Dead“).
Govorio je da senilnost kod matematičara ima tri faze: u prvoj fazi, matematičar zaboravi sve svoje radove i teoreme, u drugoj fazi zaboravi da zakopča šlic, u poslednjoj zaboravi da ga otkopča.
Erdoš, međutim, nikad nije bio senilan. Sa navršenih 80 godina života i dalje je publikovao oko 50 radova godišnje, što je više nego što mnogi matematičari publikuju tokom čitave karijere. Ko kaže da je matematika rezervisana samo za mlade ljude?
Odlazak „u čizmama“
Prema Erdoševoj (verovatno apokrifnoj) verziji priče, Leonard Ojler, jedan od najvećih matematičara svih vremena, umro je 1783. godine dok je, potpuno slep, uz šoljicu čaja i sa unukom na kolenu, u glavi računao parametre orbite Urana, planete koja je bila otkrivena tek dve godine ranije. U jednom trenutku rekao je: „Završio sam“, šoljica je pala na pod i koji trenutak kasnije Ojler je bio mrtav.
Erdoš je često ponavljao da bi voleo da „ode“ na isti način, „u čizmama“, na svom poslu, baveći se matematikom do poslednjeg trenutka:
„Želim da održim jedno lepo predavanje, da izvedem jedan važan, elegantan dokaz iz Knjige... Želim da mi se na kraju svega neko iz publike obrati pitanjem: 'Pal, a šta je rešenje u opštem slučaju?' Rekao bih uz osmeh: 'To pitanje, dragi moji, ostavljam budućim generacijama.' A onda bih se preturio i umro.“
 |
| Za katedrom 1991. |
Početkom devedesetih srce je počelo da ga izdaje. Kada se prvi put našao u bolnici, od svoje sobe napravio je učionicu kroz koju su defilovali lokalni matematičari, a doktori su morali da čekaju i po sat-dva samo da bi mu izmerili pritisak jer je Erdoš odbijao da sarađuje sve dok se vodila žustra matematička diskusija.
Prvi put mu je ozbiljno pozlilo u martu 1996. godine na Floridi, dok je na konferenciji u Boka Rejtonu držao predavanje. Pao je na pod, kolege su pritrčale, pozvana je hitna pomoć, a organizator je zamolio prisutne da se raziđu, da se odmaknu, da mu daju vazduha. U tom trenutku Erdoš se nekako pridigao i u mikrofon na reveru rekao: „Molim vas, ne razilazite se! Imam još dve važne stvari da vam pokažem!“
Mnogo teži srčani udar doživeo je u junu iste godine u Santa Kruzu, na matematičkom skupu koji su organizovali njegovi najbliži saradnici, njemu u čast. Erdoš je sedeo u publici, slušajući predavača koji je objašnjavao suštinu problema koji nikako nije uspevao da reši. Izašao je na binu, učtivo zamolio za reč a onda krenuo da skicira rešenje, samouvereno ređajući formule po tabli.
U jednom trenutku uhvatio se za grudi i pao, nemoćan da nastavi. Prevezli su ga u bolnicu, lekari su rekli da mu je potrebna hitna operacija, prognoze su bile neizvesne. Dva dana kasnije, konferencija je okončana koktelom koji je, bez Erdoša, glavne „zvezde“ skupa, više ličio na parastos.
Sve dok se na vratima nije pojavio Erdoš, u bolničkim haljinama, oslonjen na ramena doktora koji su mu ugradili pejsmejker:
„Gospodo, želim javno da zahvalim ovim divnim ljudima koji su me operisali. A sad mi dozvolite da kompletiram svoje rešenje...“
 |
| Hofmanova biografija Pola Erdoša |
Čovek koji je voleo samo brojeve
Izgledalo je da će sudbina kad-tad izaći u susret Erdoševoj želji da umre „u čizmama“, baveći se matematikom. Nije sve ispalo baš onako kako je zamišljao, ali ni mnogo drugačije od toga. Smrt ga je stigla u Varšavi na konferenciji koja je bila posvećena geometriji. Ta oblast ga nije mnogo zanimala, ali kad u životu objavite preko 1.500 radova, teško da postoji oblast matematike u kojoj nemate šta da kažete.
Održao je rutinsko predavanje i vratio se u hotelsku sobu. Tu ga je zadesio srčani udar koji mu je oduzeo moć govora, a nedugo zatim još jedan, fatalni.
Umro je 20. septembra 1996. u 83. godini. Čitavog života bio je okružen kolegama, studentima, poštovaocima, bilo ga je lako naći u svakom hotelu, na svakom skupu, na svakom fakultetu jer su se ljudi, uki i neuki, skupljali oko njega.
Često je igrao „simultanku“ sa kolegama – poređao bi ih kao đačiće u hotelske fotelje, a onda bi išao od jednog do drugog i svakom posvećivao delić svog vremena. Ljudi su strpljivo čekali svoj red da bi postavili pitanje ili dali komentar. Jer, za Erdoša je matematika bila, pre svega, društvena aktivnost, verovao je da matematika ne može da napreduje bez dijaloga i interakcije.
Nažalost, u trenutku smrti Erdoš je bio potpuno sam u hotelskoj sobi. Epitaf koji je želeo na svom spomeniku – „Konačno sam prestao da budem sve gluplji“ – nikad nije uklesan. Sahranjen je u Budimpešti, pored svoje majke.
Pol Hofman, koji je napisao Erdoševu biografiju i objavio je pod naslovom „Čovek koji je voleo samo brojeve“, veruje da je Erdoš, ipak, umro srećan:
„On nije bio genije nalik na Džona Neša (dobitnik Nobelove nagrade za ekonomiju 1994. godine, prim.) koji je veći deo života proveo u mračnoj depresiji, boreći se sa svojim šizofrenim vizijama. Erdoš je čovek koji je voleo život i uživao u svakom njegovom trenutku radeći ono što najviše voli, čak i u svom poslednjem ovozemaljskom danu.“
 |
| Prikaz mreže Erdošovih saradnika koju je napravio njegov prijatelj, matematičar Ron Grejem |
Erdošev broj
Iz poštovanja prema velikom matematičaru, njegovi saradnici i saradnici njegovih saradnika definisali su „Erdošev broj“, kao meru „akademskog rastojanja“ nekog matematičara od velikog Erdoša. Erdoš je jedini imao broj 0. Svi koji su objavili zajednički rad s njim dobili su broj 1. Oni koji su objavili rad sa nekim od direktnih Erdoševih saradnika, ali ne i sa Erdošem lično dobili su broj 2. Naredni krug matematičara dobio je broj 3, i tako redom...
O Erdoševom broju napisan je priličan broj radova. Najveći danas poznati Erdošev broj iznosi 15, pri čemu najveći deo aktivnih matematičara ima broj 7 ili manji (što se dosta dobro uklapa u hipotezu pod imenom „six degrees of separation“, po kojoj je između svake dve osobe na planeti moguće uspostaviti lanac poznanstava ne duži od šest osoba).
Ako se uzmu u obzir samo matematičari koji imaju Erdošev broj, prosečna vrednost iznosi oko 4,5. Nakon Erdoševe smrti, najmanji Erdošev broj koji novopečeni matematičar može da dobije iznosi 2, i tako će biti sve dok je u životu makar jedan od njegovih najbližih saradnika.
Bilo je tu i smešnih situacija: neki su tvrdili da legendarni igrač bejzbola Henk Aron ima Erdošev broj 1, zato što se zajedno sa Erdošem potpisao na bejzbol lopticu.
Erdošev broj dobio je, sasvim slučajno, i jedan kalifornijski konj po imenu Smarti. Njegov vlasnik (inače matematičar iz Ouklenda sa Erdoševim brojem 2) napisao je protestno pismo lokalnom magazinu, u kome je izašao kratak, ali uvredljiv tekst o rasi konja kojoj je pripadao njegov Smarti.
Kao autora pisma profesor je potpisao upravo svog konja, koji je tu bio „uvređena strana“. S obzirom da je profesor bio „ghost writer“ (pisac iz senke), po američkim autorskim pravilima on se smatrao koautorom teksta, zajedno sa prvim autorom, Smartijem, koji je tako, iako konj po zanimanju, dobio Erdošev broj 3.
 |
| Ron Grejem sa 12 loptica (nekoliko ih je dodala njegova ćerka) |
Nerešeni i nerešivi problemi
Zašto je Pal Erdoš i pored svog neizmernog doprinosa matematici i dalje tako malo poznat? Jednim delom, zato što se matematičari tradicionalno dele na dve velike grupe: na one koji grade teorije i na one koji rešavaju probleme. Erdoš je bio u ovoj drugoj grupi, nećemo reći manje važnoj, ali je činjenica da su graditelji uvek imali veći publicitet od onih koji su bili skoncentrisani na detalje.
Erdoš je išao od jednog problema do drugog vođen čistom intuicijom, ali je imao dar i da prepozna orah koji je bio suviše tvrd za njegove zube. Neke čuvene probleme, poput Goldbahove hipoteze (pretpostavke da se svaki paran broj, recimo 20, može napisati kao zbir dva prosta broja, 13 + 7), Erdoš je zaobišao u širokom luku.
Kada je Kurt Gedel u jednom od najčuvenijih matematičkih radova svih vremena pokazao da će u svakom logičkom sistemu koji u sebi sadrži makar elementarnu aritmetiku uvek postojati tačna tvrđenja koja neće biti moguće dokazati polazeći od nekog skupa nepobitnih istina (aksioma), mnogi matematičari bili su potpuno razočarani, na čelu sa Dejvidom Hilbertom koji je potrošio dobar deo života pokušavajući da sistematizuje matematičko znanje polazeći od malog broja osnovnih premisa.
Ispostavilo se da je ljudsko znanje u oblasti matematike, fizike, hemije, pa čak i biologije, ekonomije – ograničeno, da će neke stvari zauvek ostati nedokučive. Gedel je postavio granice ljudskom znanju, ali Erdoš nije mnogo mario za to: ako neki problem ne može da se reši, koga briga za to? Toliko drugih problema još uvek čeka da im se neko posveti...
Erdoš je tokom svog života rešio mnoge matematičke probleme ali je neke morao da zaobiđe, bilo zato što za njih nije imao vremena ili zato što su bili preteški. Ako bi takav problem bio interesantan ili eventualno značajan za dalja istraživanja – a Erdoš je popisao 1.111 takvih problema – on je ponudio novčanu nagradu potencijalnom rešavaču. Ta nagrada kretala se od 25 do 10.000 dolara, što je bila pozamašna suma za nekog ko nikad nije imao dovoljno novca za autobusku kartu do susednog grada.
Kada su ga jednom pitali kako i iz kojih sredstava namerava da isplati premije za preko 1.000 oglašenih problema, Erdoš je mirno odgovorio:
„Kada bi svi klijenti Engleske banke krenuli da podignu svoj novac u isti dan, Engleska banka bi bankrotirala. Mnogo je veća šansa da se to desi nego da svi moji problemi budu odjednom rešeni.“
Ronald Grejem učinio je sve što je u njegovoj moći da sačuva uspomenu na velikog Pala Erdoša. Pomogao je da neki njegovi radovi budu dovršeni i posthumno objavljeni, a preuzeo je na sebe i isplatu nagrada za probleme koji su u međuvremenu bili rešeni. Neke nagrade dao je iz svog džepa, one veće izmirio je uz pomoć darodavaca. Najsrećniji su bili oni kojima je Grejem umesto gotovog novca poslao ček potpisan Erdoševom rukom. Ti čekovi bili su nenaplativi, ali je Erdošev potpis vredeo mnogo više od same nagrade.
Na sajtu Erdos Problems nalazi se 1.111 Erdoševih nerešenih problema od kojih je 428 u međuvremenu rešeno. Nerešeni Erdoševi problemi trenutno vrede oko 25.000 dolara. Iako ni Erdoš ni Grejem nisu više među nama, jedan teksaški naftni magnat preuzeo je obavezu da isplati propisanu nagradu svakom ko reši još neki problem sa liste.
